幂零矩阵复数特征值_java

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资料来源：网络整理时间：2023/3/9 2:24:47 共计：3598 浏览

幂零矩阵复数特征值？

幂零矩阵的特征值0是重根，而且是m重根。证明：设A是幂零矩阵，则A^n=0。

λ1是A的一个特征值，存在x1≠0，使得Ax1=λ1x1。

A^n*x1=λ1^n*x1，由于x1≠0，所以λ1^n=0，所以λ1=0。

同理由于λ的任意性可以推出幂零矩阵A的其他特征值也是0。

A是mxm矩阵，所以A有m个为0的特征值，也就是m重根。

幂零矩阵的性质：

对于具有真实（或复杂）元素的n×n个方阵N，以下是等价的：

（1）N是幂零矩阵。

（2）对于一些正整数k≤n，N的最小多项式为x^k。

（3）N的特征多项式为x^n。

（4）N的唯一特征值为0。

（5）对于所有k> 0，tr（N^k）= 0。

最后一个定理适用于特征值为0或特征值足够大的矩阵。（参考牛顿的证实）

这个定理有几个结论，包括：

（1）n×n幂零矩阵的度数总是小于或等于n。

（2）幂零矩阵不是可逆矩阵的。

（3）唯一幂零且可对角化的矩阵是零矩阵。

（4）若M为实对称矩阵，则M=0。

（5）非零的幂零矩阵A不能对角化。

（6）若A为n阶幂零矩阵，则A^T，A*均为幂零阵。

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