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韦达定理的n次方表达式_java

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资料来源:网络整理       时间:2023/3/9 3:45:13       共计:3583 浏览

韦达定理的n次方表达式?

韦达定理(Weda's

Theorem):

一元二次方程ax^2+bx+c

(a不为0)中

设两个根为x和y

则x+y=-b/a

xy=c/a

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个n次方程∑AiX^i=0

它的根记作X1,X2…,Xn

我们有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和,∏是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是,那么

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

由代数基本定理可推得:任何一元

n

次方程

在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

定理的证明

设<math>x_1</math>,<math>x_2</math>是一元二次方程<math>ax^2+bx+c=0</math>的两个解,且不妨令<math>x_1

\ge

x_2</math>。根据求根公式,有

<math>x_1=\frac{-b

+

\sqrt

{b^2-4ac}}</math>,<math>x_2=\frac{-b

-

\sqrt

{b^2-4ac}}</math>

所以

<math>x_1+x_2=\frac{-b

+

\sqrt

{b^2-4ac}

+

\left

(-b

\right)

-

\sqrt

{b^2-4ac}}

=-\frac</math>,

<math>x_1x_2=\frac{

\left

(-b

+

\sqrt

{b^2-4ac}

\right)

\left

(-b

-

\sqrt

{b^2-4ac}

\right)}{\left

(2a

\right)^2}

=\frac</math>

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