如何使用数学证明无理数数量多于有理数？
首先，我们要搞清楚 什么是：“无理数数比有理数数多”。为了方便，数学上将有理数集记为 Q，将实数集记为 R。从实数中除去有理数 剩下的就是 无理数，因此 无理数记为 R\Q，其中 \ 表示 差集，即，从 R 除去 Q 中元素的 意思：
同时，用 |X| 表示 集合 X 中元素个数，例如 若 X = {Tom, and, Jerry}，则 |X| = 3。这样以来，题目中：“无理数比有理数多”，可被表述为：
|R\Q| > |Q| ①
可是，我们知道：有理数 和 无理数 的个数都是 无穷多个，即，|Q| = |R\Q| = ∞，那么问题来了：对于两个 无穷大又如何比较大小呢？也就是说，如何 使得 ① 对于无穷集合有意义？
这个问题，最早欧拉大神就研究过，为此不惜规定自然数之和为 -1/12，但依然并没有找到规律。后来是 康托尔（Cantor）找到了解决问题的金钥匙——映射。
映射，记为 f: X → Y ，它描述 从 集合 X 到 集合 Y 的一种关系，即，
对于 X 中的每个元素 x 在 Y 中 有且只有一个 元素 y = f(x) 与之对应。②
康托尔 通过 对 映射关系的细分，来对 ① 进行定义：
单的：X 中的不同元素 在 Y 中 对应不同元素；
这说明，在统计 X 中元素个数的过程中， X 中 每数一个元素 x 都会有 Y 中有 x 对应的元素 y 跟着计数，而且 根据 单的 定义， 不会发生 同一个 y 计数 两次的情况，于是，我们认为： X 的元素个数 不会大于 Y 的元素个数，即，|X| ≤ |Y|；
满的：Y 中的每个元素 都有 X 中的 至少一个 元素与之对应；
这说明，在统计 Y 中元素个数的过程中，Y 中 每数一个元素 y 都会 有 X 中的 y 对应的 至少 一个 元素 x 跟着计数，而且 根据 ②，不会发生 同一个 x 计数 两次的情况，于是，我们认为： Y 的元素个数 不会大于 X 的元素个数，即，|X| ≥ |Y|；
双的：既是 单的 又是 满的；
这时 X 和 Y 中的 元素 一一对应，因为 |X| ≤ |Y| 并且 |X| ≥ |Y| 所以 |X| = |Y|。
注：高中数学课本上，分别称 单的、满的、双的 映射 为，单射、满射、双射。因为映射对于 有限集合 和 无限集合 同时有效，于是，用映射给出的 ① 的定义，对于 有限集合和无限集合 同时有效，这样就绕开 比较无穷集合大小的的纠结。
有了 映射这个利器后，虽然 Q 和 R\Q 是 无穷集合，但是 只要 找到 它们 之间 的映射，就可以 根据 映射关系的 细分 来判断 它们 之间的大小关系了。
然后，利用自然数集作为标尺来证明。所有自然数（包括 0）组成的集合 记为 ω。对于任意集合 X，若 |X| ≤ |ω| 则称 X 可数，否则，即 |X| > |ω| 则称 X 不可数。
集合 X 可数就意味着，存在 双射 f: N → X，使得 X 中元素 和 自然数 的 全体 或 部分 N = {0, 1, 2, ..., n, ...} 一一对应 f: N → X ，于是就 可以 以 N 中自然数为下标 将 X 的元素排成一列：
称 X 可列。反之亦然。这说明，X 可列 必然 X 可数，X 可数 必然 X 可列。
先证明了 Q 可数：
任何 正有理数数 都可 表示为 两个正整数 的比值，因此我们可以建立下表：
沿着，箭头的路线，将 重复的 正有理数 删除，则 所有 正有理数数 组成一个 序列：
于是可以建立 自然数集 ω 和 有理数集 Q 之间的一一对应关系：
这就证明了 |Q| = |ω|，即，Q 可数。
再证明 无理数 R\Q 不可数：
考虑 (0, 1) 之间的 无理数，将它们写成无限不循环小数。假设 它们 可数，则可列，于是将它们排成一竖列如下：
接着我们将构造一个 新的无理数：
构造过程如下：
如果 a? 的第1位小数 a?? ≠ 6 则 b 的第1位小数取 b? = 6，否则取 b? = 9；
接着，沿着竖列向下，找到 无理数 a??，满足，它的第1位小数 a??? = b?。如果 a?? 的第2位小数 a??? ≠ 6 则 b 的第2位小数取 b? = 6，否则取 b? = 9；
接着，沿着竖列向下，找到 无理数 a??，满足，它的第2位小数 a??? = b?。如果 a?? 的第3位小数取 a??? ≠ 6 则 b 的第3位小数取 b? = 6，否则取 b? = 9；
...这样我们就得到了一个新的 无理数 b，根据构造过程 b 不等于 竖列 中的任何无理数，这和 竖列 包含所有 (0, 1) 之间的所有无理数 矛盾。
这就证明了 (0, 1) 之间的无理数不可列，进而 全体有理数 R\Q 也不可列，于是 R\Q 不可能 和 ω 一一对应 ，即，|R\Q| ≠ |ω|。
而很容构造映射 f : ω → R\Q，如下：
f(n) = n + √2
显然 f 是单的，于是有：
|ω| ≤ |R\Q|
上面已经证明了 |R\Q| ≠ |ω|，于是得到
|R\Q| > |ω|
即，R\Q 不可数。
综合，由上面的证明结果：
|Q| = |ω|，Q 可数；
|R\Q| > |ω| ，R\Q 不可数；
得到：
|R\Q| > |Q|
即，无理数比有理数多。
最后，实际上无理数比有理数多的多。可以这样想象（并非证明）：
设，袋子里有十个球，分别标记有 0 到 9 十个数字。每次随机的取一个球，记录球上的数字，然后将球放回；用这个记录的数字 作为 (0, 1) 之间小数的一个小数位。
如果，要使得这个小数是有理数，则必须 从 某次取球之后，每次都取到 0 号球（或按照某些固定循环 取球），因为要无限的取下去，所有这种事件的发生概率，为 0，其逆事件，即，小数是无理数，的发生概率是 1。
由此可见，通过取球生产的 (0, 1) 之间小数，该小数是 无理数 是必然事件（概率 P = 1），该小数是 有理数 是 不可能事件（概率 P = 0）。这就说明 无理数比有理数多的多。
注：对于有无穷个样本点的样本空间，不可能事件 也会发生。
事实上，在《测度论》中，有理数集 Q 就是 零测集，不过这个就扯远了，这里打住。
（以上的证明并不简洁，应该有更好的证明方法，希望各位数学大神不吝赐教！另外，由于本人数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师批评指正！）
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