能不能无限的小下去？
(应邀，仅站在数学的角度来回答这个问题）
在数学上 无限小的东西 称为 无穷小量。
无穷小量，最早 被牛顿 记为 和数字 0 接近的英文字母 o，出现于 他的第一篇关于流数法的论文中，目的是为了求已知面积是：
的曲边梯形的曲边曲线方程。牛顿给出的解法如下：
根据上图，牛顿列出：
利用自己的二项式定理：
展开等式左边得到：
消去 S 后等式两边除以 o 有：①
然后将 o 看成 0 消去，最终得到区边梯形的区边曲线方程： ②
同时期，另一位独立创立微积分的数学家莱布尼兹，也提出了和牛顿大同小异的 无穷小量 概念。
从上面的解题过程中可以看出：无穷小量，一会儿不等于 0 （① 处）一会儿等于 0 （② 处），而且 牛顿和莱布尼兹 均没有给出 无穷小量 的确切定义。于是 无穷小量 受到了 当时以 哲学家贝克莱 为首的强烈抨击，数学史称“第二次数学危机”。
无穷小量是一个数学分析中的 “变量”，这个变量：既有0的特性，但又不是0，这个概念从《微积分》的实践角度看，是十分清楚的。因此给出形式化的定义只是时间问题，这个任务最后被柯西用极限的概念来完成。
首先，看看柯西的极限概念：设函数 f: E → R（E ? R），如果 对于 A ∈ R，存在 a ∈ E 使得，对于任意的 ε > 0 总能找到 δ > 0，对任意 x ∈ E，当 0 < |x - a| < δ 时 不等式 |f(x) - A| < ε 均成立，则被柯西称为：
当 x 趋近于 a 时，函数 f 趋近于 A，记为，
或者
A 是 函数 f 在 x 趋近于 a 时的 极限，记为，
有了极限的概念后，就可以清楚的定义 无穷小量了：如果 函数 f: E → R 在 x 趋近于 a 时 极限为 0，即，
则称 f 为 在 x 趋近于 a 时 为 无穷小量，特别地，当 a = 0 时，直接称 f 是 无穷小量。例如：x 是 无穷小量； x - 1 在 x 趋近于 1 时为无穷小量。
进而，对于 函数 g,h : E → R, 如果 当 x 趋近于 a 时， 存在 x 趋近于 a 的无穷小量 f(x) ，使得 x 趋近于 a 时 g(x) 等于 f(x)h(x) ， 即，
则称 当 x 趋近于 a 时 g 是 h 的 高阶无穷小量，记为：
特别地，当 a = 0 时，直接称 g 是 h 的 高阶无穷小量，记为：
例如：因为 x2 = xx，所以 x2 = o(x)； 因为 x2-x = (x-1)x = x(x-1) ，于是 R ? x → 1, x2-x = o(x) 并且 x2-x = o(x-1)。
因为，
所以显然，无穷小量 f 是 恒1函数 1(x) = 1 的高阶无穷小量，（也可以理解为：因为 恒1函数 永远不等于 0，于是 只要是个可以趋近于 0 的函数，都是 它的 高阶无穷小量），即，
例如：x = o(1)；R ? x → 1, x-1 = o(1)。
从上面 无穷小量 的形式化的定义可以看出，无穷小量就是：在 自变量趋于某 值 时 逼近于 0 的 函数。而且因逼近于 0 的快慢不同，还可以用 无穷小量 阶位区分。
注意：有些微积分教材中，用 来定义 x 趋近于 a 时 g 是 h 的高价无穷小量。这和上面的定义等价。现在可以回答题主得问题了：
无限小的东西，能不能无限的小下去？
无穷小量当然可以无限小下去，而且也必须无限小小区，并且 无限小量永远不等于 0。
永远没有停止的时候？
那可不一定，无限的动作加起来的总耗时，不一定无限。举例说明：
阿基里斯从 距离 0 点 s 公理 的 点出发，沿着直线向 0 点 跑去，设，函数 f: N → R ，
f(n) = s/2?，(n = 1, 2, 3, ..).
显然 f 是无穷小量 o(1)，它，将奔跑路无限的径分割下去：
s/2, s/4, s/8, s/16, ...
阿基里斯有两种奔跑方案：
A 方案：阿基里斯以每天跑一小段，则，
跑到 s/2 处用时 1 天，跑到 s/4 处 用时 2 天，... 跑到 s/2? 处用时 T(n) = n 天， ...
B 方案：阿基里斯以 速度 为 1 公理/每天 的 匀速 从 s 点 奔跑 到 0 点，则，
跑到 s/2 用时 s/2 天，跑到 s/4 处 用时 s/2 + s/4 天， ... 跑到 s/2n 处用时 Tn = s/2 + s/4 + ... + s/2? = s(1-1/2?) 天， ...
你会发现，对于同一的无限细分下去的无穷小量，T(n) 的极限是不一样的：
A 方案：
B 方案：
一个用时无限，一个用时有限。
这充分说明，同样是无限细分，但 A 方案，每次分割耗时保持不变，当然会永远没有停止，而 B 方案，分割耗时越来越小（是 n 的高阶无穷小量o(n) ) ，以至于最后耗时趋近于 0，极限情况就是 s 天后 阿基里斯 停止在 0 点 处，无限细分在时间上结束。
当然，柯西的极限定义中 x 逼近 a，即，E ? x → a 比较原始，《数学分析》 中会用 滤子基的概念代替，滤子基定义为：
由 E 的子集 组成的集族 B ，满足：
B 不包含 空集；
对于 任意 U, V ∈ B 都存在 A ∈ B 使得 A ? U ∩ V；则 B 是 E 的 一个 滤子基。
滤子基直接给出了 每个逼近 a 的范围，就像高程图中的等高线逼近山尖尖一样。
相应的，将极限的定义调整为：设 函数 f: E → R（E ? R），B 是 E 中的 滤子基，如果 对于 A ∈ R 的任意一个邻域 V(A)，都存在 U ∈ B 使得，U 在 f 下的像 f(U) 被包含于 V(A) 内，即， f(U) ? V(A)，则称 A 是 f 在 滤子基 B 下的 极限，记为：
最后，上面的无穷小量 和 高阶无穷小量 也调整为：
在 滤子基 B 下， f 是 无穷小量，记为：B，f = o(1)；
在 滤子基 B 下， g 是 h 的 高阶无穷小量，记为：B, g = o(h)。（最后，本人数学水平有限，出错在所难免，希望各位老师批评指正。）
补充：
在《高等数学》中，函数连续 和 函数极限是关联在一起的：函数在某点的极限值等于函数值就说明函数在该点连续。后来高等数学升级到《数学分析》（《点集拓扑》），基于拓扑结构中开集的定义，我们很容易用：开集的原像是开集，来定义函数的连续性，那么，函数的极限如何定义呢？开始，数学家用一种网的概念来定义，后来 陈省身的老师 Henri Cartan 发明了 滤子的概念替代网，作为函数极限的定义，这就是上面介绍的滤子基。
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