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拓扑几何跟普通的几何有什么联系_java

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拓扑几何跟普通的几何有什么联系？

在拓扑变换下不变的性质称为图形的拓扑性质。拓扑学主要研究的就是图形的拓扑性质，也叫做拓扑不变量。

几何学研究的是几何图形在某一类变换下不变的性质。根据变换类别的不同我们可以将几何学进行分类，几何图形在某种特定变换下不变的性质是在一类具体几何需要重点研究的内容。从数学上我们知道，某种变换总可以用一类特殊的矩阵来表示。因此在进行数学描述时，变换和矩阵总是分不开的。

我们最先接触的几何是欧几里得几何，其对应的变换是等距变换，即保持任意两点间距不变的变换，其基本操作包括平移、旋转和镜像。在等距变换下不变的性质称为图形的度量性质，如图形的长度、角度、面积等。

图1. 拉斐尔的雅典学院。图中展示了一个希腊数学家，有可能是欧几里得或者阿基米德在用指南针描绘一个几何图形。(From wiki: Euclidean geometry)

如果我们将条件放宽，允许图形在变换前后长度、角度和面积可以不同，但要求平行线还是平行线，平行线段的比以及两个图形面积的比不变，这种变换称之为仿射变换，在数学上可以表示为线性变换与平移变换的乘积：

仿射变换的基本操作包括平移(translation)、翻转(flip)、旋转(rotation)、缩放(scaling)、剪切(shear). 图2. 仿射变换的基本操作

如果两个图形可以通过仿射变换转化，则这两个图形称为仿射等价。例如在仿射几何中，所有的三角形仿射等价，所有的椭圆也仿射等价，他们都可以通过以上操作联系起来。我们把经过仿射变换不变的性质，称为图形的仿射性质。

将仿射变换中的条件继续放宽，不仅允许图形的形状大小可以改变，而且允许平行直线可以不再保持，但要求点仍旧变成点，直线仍旧变成直线，点在线上仍旧变成点在线上。这样的变换我们称之为射影变换。若两个图形可以通过射影变换联系起来，则称这两个图形射影等价。在射影几何中，所有的椭圆、双曲线和抛物线全都是射影等价的。经过射影变换不变的性质叫做图形的射影性质，射影几何学主要研究的就是图形的射影性质。

图3. 射影变换示例。将一个球射影到一个平面上有多种方法，视灯泡位置的不同可以得到不同的射影结果。但由于在射影的过程中将某一维度的信息丢失，因此射影变换是不可逆的。(From wiki: Projective geometry)

若我们将变换条件进一步放宽，我们就会得到拓扑几何。这时我们将放弃任何苛刻的要求，只要这个变换是一对一的，且相互靠近的点在变换前后仍然相互靠近就可以，这种变换我们就称之为拓扑变换，也叫同胚变换，用数学语言描述就是一个一 一的连续且逆也连续的变换（或映射）。

想象一张弹性极好的橡皮薄膜，拓扑变换允许将薄膜任意的扭曲、弯折、拉伸、压缩等等，只要不撕破它，且不使其粘合即可。基于此，我们形象地把这种变换称为橡皮变形。

类似于其他的几何学，我们将可以通过拓扑变换联系起来的两个图形称之为拓扑等价。在拓扑变换下不变的性质称为图形的拓扑性质。拓扑学主要研究的就是图形的拓扑性质，也叫做拓扑不变量。

图4. 拓扑变换：杯子到甜甜圈的连续变形（From wiki: Topology）

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